บทที่ 1

ระบบตัวเลข (Number System)

 

1.1     กล่าวนำ

ระบบตัวเลขที่เราได้ใช้กันมาตลอดตั้งแต่ที่เราจำความกันได้นั้น จะประกอบไปด้วยเลข 10ตัว คือ เลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ซึ่งมนุษย์เราได้ใช้ระบบการนับเหล่านี้มาใช้ในการสื่อสาร บอกปริมาณ ขนาด ทำให้ทุกคนสามารถมีความเข้าใจตรงกันในการสื่อความหมาย ซึ่งระบบเลขนี้คือระบบเลขฐานสิบนั่นเอง

แต่ในปัจจุบัน ความก้าวหน้าทางเทคโนโลยี โดยเฉพาะทางคอมพิวเตอร์ได้ถูกพัฒนามาเป็นอย่างมาก ซึ่งหลักการทำงานของคอมพิวเตอร์นั้น จะมีลักษณะการทำงานภายในเพียง 2 จังหวะเท่านั้น คือ ON และ OFF ในลักษณะของวงจรสวิทชิ่งนั้นเอง จากลักษณะการทำงานของสวิทชิ่งนั้น เราสามารถนำระบบเลขฐานสองมาประยุกต์ใช้ในการสื่อความหมายแทนคำว่า ON และ OFF ของวงจรสวิทชิ่ง เนื่องจากเลขฐานสองจำนวนหลาย ๆ หลัก เมื่อนำมาสื่อความหมายแล้วจะทำให้เกิดความสับสนในการสื่อความซึ่งกันและกัน จึงเป็นการไม่สะดวกนักในการใช้เลขฐานสองเพียงอย่างเดียว เราจึงจำเป็นที่จะต้องศึกษาระบบเลขฐานอื่น ๆ ซึ่งมีความสะดวกในการสื่อความหมายและจะต้องมีความสะดวกในการแปลงค่ากับเลขฐานสอง ระบบเลขที่เรานิยมนำมาใช้คือระบบเลขฐานแปดและฐานสิบหกนั่นเอง

 

1.2     ระบบตัวเลข (Number System)

ระบบตัวเลขในแต่ละระบบจะมีจำนวนตัวเลขโดด (Digit) เท่ากับชื่อของระบบตัวเลขฐานนั้น ๆ ได้แก่

ระบบเลขฐานสอง (Binary number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 2 ตัว คือ 0 และ 1

ระบบเลขฐานห้า (Quinary number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 ระบบเลขนี้นิยมแพร่หลายในพวกเอสกิโม (Eskimos) และอินเดียนในอเมริกาเหนือ

ระบบเลขฐานแปด (Octal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7

ระบบเลขฐานสิบ (Decimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

ระบบเลขฐานสิบสอง (Duodecimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 12 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a และ b ซึ่งระบบเลขฐานสิบสองนี้จะเห็นได้จากนาฬิกา นิ้วและฟุต โหลและกุรุส

ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F

 

1.3     ระบบเลขฐานสิบ

ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขพื้นฐานที่เราใช้สื่อความหมายมาโดยตลอด ซึ่งจะประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่เป็นเลขโดด (Digit) จำนวน 10 ตัว คือ 0 ถึง 9 ในการเขียนเลขฐานสิบจะกระทำได้โดยการนำเลขโดด 1 ตัวมาเขียน ซึ่งสามารถเขียนค่าต่าง ๆ เรียงตามลำดับของมัน เช่น 0, 1, 2,…, 9 ซึ่งจะเห็นว่าถ้านำเลขโดดเพียง 1 ตัวมาใช้ในการเขียนเพื่อสื่อความหมายนั้น เลข 9 จะเป็นค่าสูงสุดแล้ว ในความเป็นจริงเราจำเป็นต้องใช้มากกว่านั้น นั่นหมายความว่าในการเขียนเลขโดยใช้เลขโดดเพียงตัวเดียวคงไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องนำเลขโดดหลาย ๆ ตัวมาเขียนประกอบกันเป็นค่าตัวเลขที่เราต้องการ เลข 9 ซึ่งเป็นค่าสูงสุด ถ้าเราสังเกตจะเห็นค่าตัวเลขที่เป็นตัวนำอยู่ คือ 0 นั่นเอง เราก็จะเห็นเป็น 09 หมายความว่าถ้าต้องการเพิ่มค่าให้มากกว่านี้อีก 1 ค่า เราจะต้องเปลี่ยนเลขในหลักต่ำสุดคือ เลข 9 ให้เป็นเลข 0 และเปลี่ยนค่าตัวนำให้เพิ่มขึ้นอีก 1 ค่า ซึ่งจะได้เป็น 10, 11, 12, …, 19, 20, 21, 22, …, 29, 30, 31, …, 99, 100, 101, …, 199, 200, 201, 202, …, 999, 1000, 1001, 1002, … (ลองสังเกตการเพิ่มค่าตัวเลขจากหน้าปัทม์บอกจำนวนระยะทางของรถยนต์ )

ตัวเลขโดดในการเขียนตัวเลขใด ๆ อาจจะมีค่าที่แตกต่างกัน เช่น 2000 และ 20 ตัวเลข 2 ของเลข 2 จำนวน จะมีความหมายซึ่งไม่เหมือนกัน หมายความว่าตัวเลขที่ปรากฏ ณ.ตำแหน่งต่าง ๆ จะมีน้ำหนักที่ไม่เหมือนกัน นั่นคือจำนวนเต็มในเลขฐานสิบ N ซึ่งมีตัวเลข n ตัว จะมีค่าเท่ากับผลบวกของสัมประสิทธิ์ตามน้ำหนัก หาได้ดังนี้

N10  =   an-1 (10)n-1 + an-2 (10)n-2 + … + a1 (10)1 + a0 (10)0

                ตัวอย่างเช่น 50891 เราสามารถเขียนในลักษณะของน้ำหนักประจำตำแหน่งได้ดังนี้

                50891    =     5 x 104  + 0 x 103  + 8 x 102  + 9 x 101  + 1 x 100

                ถ้าเป็นจำนวนทศนิยม เลขยกกำลังของฐานจะเริ่มตั้งแต่ –1 เป็นต้นไป

                n10  =   a-1 (10)-1 + a-2 (10)-2 + … + a-(m-1) (10)-m+1 + a-m (10)-m

                ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้

N10=an-1(10)n-1+an-2(10)n-2+…+a1(10)1+a0(10)0+a-1(10)-1+a-2(10)-2+…+a-(m-1)(10)-m+1+a-m(10)-m

 

 

1.4     ระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานสองได้ถูกคิดค้นขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ “GOTTFRIED WILHELM”  ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น 0 และ 1 เท่านั้น ทำให้ระบบเลขฐานสองนี้เหมาะสมในการนำมาประยุกต์แทนการอธิบายการทำงานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์สวิทชิ่ง โดย ON จะแทน 1 และ OFF จะแทน 0

การนับเลขฐานสอง (Counting in Binary)

การนับเลขฐานสองจะมีหลักการเช่นเดียวกับการนับเลขฐานสิบ คือจะมีตัวนำและตามด้วยเลขพื้นฐาน เช่น

เลขฐานสิบ

เลขฐานสอง

เลขฐานสิบ

เลขฐานสอง

0

0

8

1000

1

1

9

1001

2

10

10

1010

3

11

11

1011

4

100

12

1100

5

101

13

1101

6

110

14

1110

7

111

15

1111

มีข้อสังเกตคือ  เลขฐานสอง 16 ตัวแรก จะเขียนด้วยตัวเลขขนาด 4 หลัก หรือ 4 บิทพอดี (bit ย่อมาจาก binary digit) และความสำคัญของตัวเลข ณ.ตำแหน่งต่าง ๆ ก็จะมีระดับความสำคัญที่แตกต่างกันเช่นเดียวกับเลขฐานสิบ นั่นคือ ตัวเลขที่อยู่ตำแหน่งซ้ายสุดของจำนวนเลขใด ๆ จะเป็นเลขที่มีนัยสำคัญสูงที่สุด (most significant digit (bit) ใช้ตัวย่อว่า msd หรือ msb) ส่วนตัวเลขที่อยู่ตำแหน่งขวาสุดของจำนวนเลขใด ๆ จะเป็นเลขที่มีนัยสำคัญต่ำที่สุด (least significant digit (bit) ใช้ตัวย่อว่า lsd หรือ lsb) และเช่นเดียวกับเลขฐานสิบเราสามาถเขียนเลขฐานสองในลักษณะเทียบค่าน้ำหนักประจำหลักได้เช่นกัน

N2  =   an-1 (2)n-1 + an-2 (2)n-2 + … + a1 (2)1 + a0 (2)0

และในกรณีเป็นทศนิยมจะได้

                n2  =   a-1 (2)-1 + a-2 (2)-2 + … + a-(m-1) (2)-m+1 + a-m (2)-m

                ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้

N2  =  an-1 (2)n-1+ an-2 (2)n-2+…+ a1 (2)1+ a0 (2)0+ a-1 (2)-1+ a-2 (2)-2+…+ a-(m-1) (2)-m+1+ a-m (2)-m

 

 

1.5     ระบบเลขฐานแปด

ในการทำงานจริงของอิเล็กทรอนิกส์สวิทชิ่งนั้น เราสามารถแทนได้ด้วยเลขฐานสองก็จริง แต่ถ้าหากมีการบอกรายละเอียดเป็นขนาดจำนวนบิตต่าง ๆ ค่อนข้างมาก จะทำให้ไม่สะดวกนั้นในการที่จะใช้เลขฐานสองในการสื่อความหมาย ข้อเสียนี้ของเลขฐานสองทำให้เราจำเป็นต้องหาระบบเลขอื่น ๆ มาใช้แทน ซึ่งเลขฐานแปดเป็นระบบเลขระบบหนึ่งที่สามารถนำมาใช้แทนได้เป็นอย่างดี เนื่องจากสัญลักษณ์พื้นฐานของเลขฐานแปดประกอบไปด้วยค่าต่ำสุดคือ 0 และค่าสูงสุด คือ 7 ซึ่งสอดคล้องกับ ค่าต่ำสุดของเลขฐานสองจำนวน 3 บิต คือ 000 และค่าสูงสุดคือ 111 พอดี ทำให้เราสามารถเปลี่ยนระหว่างเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้สะดวก

การนับจะนวนของระบบเลขฐานแปดก็จะมีลักษณะเดียวกับเลขฐานสองและฐานสิบคือจะต้องประกอบด้วยตัวนำ และตามด้วยตัวเลขพื้นฐาน

เลขฐานสิบ

เลขฐานแปด

เลขฐานสิบ

เลขฐานแปด

0

0

8

10

1

1

9

11

2

2

10

12

3

3

11

13

4

4

12

14

5

5

13

15

6

6

14

16

7

7

15

17

 

ซึ่งเขียนตามน้ำหนักประจำหลักจะได้

N8  =   an-1 (8)n-1 + an-2 (8)n-2 + … + a1 (8)1 + a0 (8)0

และในกรณีเป็นทศนิยมจะได้

                n8  =   a-1 (8)-1 + a-2 (8)-2 + … + a-(m-1) (8)-m+1 + a-m (8)-m

                ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้

N8  =  an-1 (8)n-1+ an-2 (8)n-2+…+ a1 (8)1+ a0 (8)0+ a-1 (8)-1+ a-2 (8)-2+…+ a-(m-1) (8)-m+1+ a-m (8)-m

 

1.6     ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสิบหกมีลักษณะคล้ายเลขฐานแปด โดยค่าต่ำสุดของเลขฐานสิบหก คือ 0 จะมีค่าเท่ากับค่าต่ำสุดของเลขฐานสอง 4 บิต คือ 0000 และโดยค่าสูงสุดของเลขฐานสิบหก คือ F จะมีค่าเท่ากับค่าสูงสุดของเลขฐานสอง 4 บิต คือ 1111 ทำให้ระบบเลขฐานสิบหกจึงเป็นอีกระบบหนึ่งที่นิยมใช้แทนการกล่าวถึงเลขฐานสอง และปัจจุบันจะเป็นที่นิยมใช้เลขฐานสิบหกมากกว่าเลขฐานแปด

เลขฐานสิบ

เลขฐานสิบหก

เลขฐานสิบ

เลขฐานสิบหก

0

0

8

8

1

1

9

9

2

2

10

A

3

3

11

B

4

4

12

C

5

5

13

D

6

6

14

E

7

7

15

F

 

เลขฐานสิบหก N16 ซึ่งมีจำนวนเต็ม n หลัก จำนวนทศนิยม m หลัก จะมีค่าดังสมการ

N16  =  an-1(16)n-1+an-2(16)n-2+…+a1(16)1+a0(16)0+a-1(16)-1+a-2(16)-2+…+ a-(m-1)(16)-m+1+ a-m(8)-m

 

1.7     การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก ให้เป็น

เลขฐานสิบ

                เนื่องจากมนุษย์มีความคุ้นเคยกับเลขฐานสิบสามารถเข้าใจเมื่อได้มีการสื่อความหมายด้วยเลขฐานสิบจึงทำให้เราต้องศึกษาวิธีการเปลี่ยนหรือแปลงค่าเลขฐานต่าง ๆ ให้เป็นเลขฐานสิบ เพื่อความเข้าใจได้มากขึ้น ซึ่งเราอาศัยหลักการเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบจากเลขฐานต่าง ๆ ได้ไม่ยากนัก สามารถแปลงเขฐานต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบได้โดยการนำเลขแต่ละตำแหน่งของฐานนั้น ๆ ไปคูณด้วยน้ำหนัก (Weighting) หรือค่าประจำหลักของเลขฐานนั้น ๆ แล้วนำมาบวกกัน เราก็จะได้ค่าออกมาเป็นเลขฐานสิบนั่นเอง

 

ตัวอย่างที่ 1.1       จงแปลงเลขฐานสอง 1101101 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             11011012       =    (1´26) + (1´25) + (0´24) + (1´23) + (1´22) + (0´21) + (1´20)

                      =    64   +   32   +   0   +   8   +   4   +   0   +   1

                      =    10910

               

ตัวอย่างที่ 1.2       จงแปลงเลขฐานสอง 0.1011 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             0.1011 2          =    (1´2-1) + (0´2-2) + (1´2-3) + (1´2-4)

                                      =    1´0.5  +  0´0.25  +  1´0.125  +  1´0.0625

                                      =    0.5   +   0   +   0.125   +   0.0625

                      =    0.687510

 

ตัวอย่างที่ 1.3       จงแปลงเลขฐานสอง 11101.011 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             11101.011 2   =    (1´24) + (1´23) + (1´22) + (0´21) + (1´20) + (0´2-1)+ (1´2-2)+ (1´2-3)

                                      =    1´16  +  1´8  +  1´4  +  0´2  +  1´1  +  0´0.5  +  1´0.25  +  1´0.125                             =             16  +  8  +  4  +  0  +  1  +  0  +  0.25  +  0.125

                                      =    29.37510

 

ตัวอย่างที่ 1.4       จงแปลงเลขฐานแปด 2374 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             23748              =    (2´83) + (3´82) + (7´81) + (4´80)

                                      =    2´512  + 3´64  + 7´8  +  4´1 

                                      =    1024  +  192  +  56  +  4

                                      =    127610

 

ตัวอย่างที่ 1.5       จงแปลงเลขฐานแปด 0.325 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             0.3258             =    (3´8-1) + (2´8-2) + (5´8-3)

                                      =    3´0.125 + 2´0.015625 + 5´0.001953

                                      =    0.375  +  0.3125  +  0.009765 

                                      =    0.41601510

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.6       จงแปลงเลขฐานสิบหก E5 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             E516                 =    (E´161) + (5´160)

                                      =    14´16  + 5´1 

                                      =    224  +  5 

                                      =    22910

 

ตัวอย่างที่ 1.7       จงแปลงเลขฐานสิบหก B2F8 ให้เป็นเลขฐานสิบ

วิธีทำ     

             B2F816            =    (B´163) + (2´162) + (F´161) + (8´160)

                                      =    11´4096 + 2´256 + 15´16 + 8´1

                                      =    45056  +  512 + 240 + 8 

                                      =    4581610

 

1.8     การแปลงเลขฐานสิบให้เป็น เลขฐานสอง เลขฐานแปดและ

เลขฐานสิบหก

การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานใด ๆ ก็ตาม จะมีวิธีการคิดเช่นเดียวกัน โดยการแบ่งลักษณะการแปลงได้ 2 กรณี คือ

1. กรณีเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงเป็นเลขจำนวนเต็ม เราทำการแปลงให้เป็นฐานใด ๆ ได้โดยการนำเลขจำนวนเต็มฐานสิบนั้น ๆ มาหารด้วยเลขฐานที่ต้องการเปลี่ยน โดยเก็บเศษที่เหลือจากการหารเอาไว้ จากนั้นนำคำตอบที่เหลือจากการหารนำไปหารกับเลขฐานที่ต้องการแปลงและเก็บเศษจากการหารเอาไว้อีก กระทำอย่างนี้ซ้ำ ๆ จนกระทั่งไม่สามารถนำคำตอบที่เหลือจากการหารไปหารได้อีก เศษที่เหลือจากการหารในแต่ละครั้งนำมาเขียนรวมกันก็จะเป็นผลลัพธ์ของเลขฐานที่ต้องการเปลี่ยน โดยเศษที่เหลื่อจากการหารในครั้งแรกสุด จะเป็นตัวที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด (Least significant digit หรือ LSD) ส่วนเศษที่เหลือจากการหารในครั้งสุดท้ายจะเป็นตัวที่มีนัยสำคัญสูงที่สุด (Most significant digit หรือ MSD)

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.8       จงแปลง 2510 ให้เป็นเลขฐานสอง

วิธีทำ                                                                                      เศษ

                                25   ¸   2               =   12                      1              (LSD หรือ LSB)

                                12   ¸   2               =   6                        0                

                                6     ¸   2               =   3                        0                

                                3     ¸   2               =   1                        1                

                                1     ¸   2               =   0                        1              (MSD หรือ MSB)

                \  2510    =    110012

 

2. กรณีเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงเป็นเลขเศษส่วน(เลขทศนิยม) ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็มเราทำการแปลงให้เป็นฐานใด ๆ ได้ โดยการนำเลขฐานสิบนั้น ๆ คูณด้วยเลขฐานที่จะเปลี่ยนแล้วเก็บค่าผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณเฉพาะเลขจำนวนเต็มที่อยู่หน้าจุดทศนิยม จากนั้นนำคำตอบที่ได้จากการคูณในครั้งแรกเฉพาะเลขทศนิยมเท่านั้นมาทำการคูณกับเลขฐานที่ต้องการเปลี่ยนอีกแล้วเก็บค่าผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณเฉพาะเลขจำนวนเต็มที่อยู่หน้าจุดทศนิยมอีกครั้ง กระทำอย่านี้ซ้ำ ๆ จนกระทั่งได้คำตอบที่เราเห็นว่าเหมาะสม แล้วจึงนำค่าที่เราเก็บไว้มาเขียนเป็นเลขฐานที่เราต้องการซึ่งจะเป็นทศนิยม โดยค่าจำนวนเต็มที่ได้จากการเก็บในครั้งแรกจะเป็น MSD

 

ตัวอย่างที่ 1.8       จงแปลง 0.312510 ให้เป็นเลขฐานสอง

วิธีทำ                                                                                      จำนวนเต็มที่เก็บ

                                0.3125   ´   2       =   0.625                                0                              (MSD หรือ MSB)

                                0.625     ´   2       =   1.25                                  1                

                                0.25       ´   2        =   0.50                                  0                

                                0.50       ´   2        =   1.00                                  1                

                \  0.312510            =    0.01012

 

                กรณีเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงเป็นเลขฐานอื่น ๆ  เป็นเลขที่ผสมระหว่างเลขจำนวนเต็มและเลขทศนิยม (เลขจำนวนจริง) ก็ให้ทำการแยกแปลง 2 ครั้ง โดยแยกแปลงแบบหารสำหรับจำนวนเต็ม และ คูณสำหรับทศนิยม แล้วนำคำตอบมารวมกัน

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1.9       จงแปลง 18.62510 ให้เป็นเลขฐานสอง

วิธีทำ      แยกคิด 2 ครั้ง คือ 1810 และ 0.62510

                ) แปลง  1810  ให้เป็นฐานสอง

                                                                                                เศษ

                                18   ¸   2               =   9                        0              (LSD หรือ LSB)

                                9     ¸   2               =   4                        1                

                                4     ¸   2               =   2                        0                

                                2     ¸   2               =   1                        0                

                                1     ¸   2               =   0                        1              (MSD หรือ MSB)

                \  1810                 =    100102

                ) แปลง  0.62510  ให้เป็นฐานสอง

                                                                                                จำนวนเต็มที่เก็บ

                                0.625     ´   2       =   1.250                                1                              (MSD หรือ MSB)

                                0.250     ´   2       =   0.500                                0

                                0.5         ´   2        =   1.0                                     1

                                0.0         ´   2        =   0                                        0

                \  0.62510              =    0.1012

                \  18.62510            =    10010.1012

 

ตัวอย่างที่ 1.10     จงแปลง 359.2810 ให้เป็นเลขฐานแปด

วิธีทำ      แยกคิด 2 ครั้ง คือ 35910 และ 0.2810

                ) แปลง  35910  ให้เป็นฐานแปด

                                                                                                เศษ

                                359 ¸   8               =   44                      7              (LSD)

                                44   ¸   8               =   5                        4                

                                5     ¸   8               =   0                        5              (MSD)

                \  35910                 =    5478

 

 

 

 

                ) แปลง  0.2810  ให้เป็นฐานแปด

                                                                                                จำนวนเต็มที่เก็บ

                                0.28       ´   8        =   2.24                                  2                              (MSD)

                                0.24       ´   8        =   1.92                                  1

                                0.92       ´   8        =   7.36                                  7

                                0.36       ´   8        =   2.88                                  2

                                0.88       ´   8        =   7.04                                  7

                \  0.2810                =    0.217278

                \  359.2810            =    547.217278

 

ตัวอย่างที่ 1.11     จงแปลง 650.0510 ให้เป็นเลขฐานสิบหก

วิธีทำ      แยกคิด 2 ครั้ง คือ 65010 และ 0.0510

                ) แปลง  65010  ให้เป็นฐานสิบหก

                                                                                                เศษ

                                650 ¸   16            =   40                      10           คือ           A             (LSD)

                                40   ¸   16             =   2                        8                

                                2     ¸   16             =   0                        2              (MSD)

                \  65010                 =    28A16

                ) แปลง  0.0510  ให้เป็นฐานสิบหก

                                                                                                จำนวนเต็มที่เก็บ

                                0.05       ´   16     =   0.80                                  0                              (MSD)

                                0.80       ´   16     =   1.28                                  1

                                0.28       ´   16     =   3.48                                  3

                                0.48       ´   16     =   7.68                                  7

                                0.68       ´   16     =   10.88                                10           คือ           A

                \  0.0510                =    0.0137A16

                \  650.0510            =    28A.0137A16

 

1.9     การแปลงระหว่างเลขฐานแปดกับเลขฐานสอง

                จากหัวข้อที่เราได้ศึกษามาแล้ว ถ้าเราต้องการที่จะแปลงเลขระหว่างเลขฐานแปดกับเลขฐานสองนั้น เราจะกระทำได้โดยแปลงเลขฐานที่ต้องการแปลงให้เป็นเลขฐานสิบก่อนจากนั้นจึงค่อยแปลงจากเลขฐานสิบไปเป็นเลขฐานที่ต้องการ ซึ่งจะเห็นว่ามีวิธีการที่ยุ่งยากเสียเวลามาก ถ้าเราสังเกตจากตารางดังต่อไปนี้ ซึ่งเทียบค่าระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานแปดจะเห็นว่า ความสัมพันธ์ของเลขฐานแปดที่เป็นเลขพื้นฐาน 1 ตัว สามารถแทนด้วยเลขฐานสองขนาด 3 bit พอดี

เลขฐานสิบ

เลขฐานสอง

เลขฐานแปด

0

000

0

1

001

1

2

010

2

3

011

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7

 

                ดังนั้นในการแปลงระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานแปดเราสามารถกระทำได้โดยการจับกลุ่มของเลขฐานสอง 3 bit ต่อเลขฐานแปด 1 หลัก โดยเทียบค่ากัน ตัวต่อตัว

ตัวอย่างที่ 1.12     จงแปลงเลขฐานแปดต่อไปนี้เป็นเลขฐานสอง

ก)                  478

ข)                  7528

ค)                  37.128

วิธีทำ
                )            478          =             100  1112

                )            7528        =             111  101  0102

                )            37.128       =             011  111 . 001 0102

 

ตัวอย่างที่ 1.13     จงแปลงเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นเลขฐานแปด

ก)                  1011110012

ข)                  10111001102

ค)                  1001101.10112

วิธีทำ
                )            101 111 0012                        =             5 7 18

                )            001 011 100 1102                =             1 3 4 68

                )            001 001 101 . 101 1002         =             1 1 5 . 5 48

 

1.10   การแปลงระหว่างเลขฐานสิบหกกับเลขฐานสอง

                ในลักษณะเดียวกัน ถ้าเราต้องการที่จะแปลงเลขระหว่างเลขฐานสิบหกกับเลขฐานสองนั้น เราจะกระทำได้โดยแปลงเลขฐานที่ต้องการแปลงให้เป็นเลขฐานสิบก่อนจากนั้นจึงค่อยแปลงจากเลขฐานสิบไปเป็นเลขฐานที่ต้องการ ซึ่งจะเห็นว่ามีวิธีการที่ยุ่งยากเสียเวลามากเช่นเดียวกัน ถ้าเราสังเกตจากตารางดังต่อไปนี้ ซึ่งเทียบค่าระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานสิบหกก็จะเห็นเช่นกันว่า ความสัมพันธ์ของเลขฐานสิบหกที่เป็นเลขพื้นฐาน 1 ตัว สามารถแทนด้วยเลขฐานสองขนาด 4 bit พอดี

เลขฐานสิบ

เลขฐานสอง

เลขฐานสิบหก

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

                ดังนั้นในการแปลงระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานสิบหกเราสามารถกระทำได้โดยการจับกลุ่มของเลขฐานสอง 4 bit ต่อเลขฐานสิบหก 1 หลัก โดยเทียบค่ากัน ตัวต่อตัวเช่นเดียวกับฐานแปด

ตัวอย่างที่ 1.14     จงแปลงเลขฐานสิบหกต่อไปนี้เป็นเลขฐานสอง

ก)                  CF3716

ข)                  975216

ค)                  D27.8216

วิธีทำ
)            CF3716                   =             1100  1111  0011  01112

                )            975216                              =             1001  0111  0101  00102

)            D27.8216                        =             1101  0010  0111 . 1000  00102

 

ตัวอย่างที่ 1.15     จงแปลงเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบหก

ก)                  1011101110012

ข)                  10111001111102

ค)                  100111101.1100112

วิธีทำ
                )            1011  1011  10012               =             B B 916

                )            0001  0111  0011  11102   =             1 7 3 E16

                )            0001  0011  1101 . 1100 11002            =             1 3 D . C C16

 

1.11   การบวกเลขฐานต่าง ๆ

                การบวกเลขฐานสอง         มีวิธีการคล้ายคลึงกับการบวกเลขฐานสิบแต่จะมีหลักเกณฑ์ที่ง่ายกว่า ดังนี้

                                0  +  0     =             0

                                0  +  1     =             1

                                1  +  0     =             1

                                1  +  1     =             0              ทดไปหลักต่อไปอีก   1

 

ตัวอย่างที่ 1.16    

                )            1002                           410

                                +102                                   +210

                                1102                                       610

 

                )            11112                        1510

                            +11002                                  +1210

                            110112                                      2710

                )            101.112                 

                            +  11.012                             

                            1001.002                                 

 

                การบวกเลขฐานแปด         มีวิธีการบวกคล้ายคลึงกับการบวกเลขฐานสิบเช่นเดียวกัน ซึ่งมีตารางการบวก ดังนี้

ตารางการบวกเลขฐานแปด

+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

10

2

2

3

4

5

6

7

10

11

3

3

4

5

6

7

10

11

12

4

4

5

6

7

10

11

12

13

5

5

6

7

10

11

12

13

14

6

6

7

10

11

12

13

14

15

7

7

10

11

12

13

14

15

16

 

ตัวอย่างที่ 1.17     จงบวกเลขฐานแปดต่อไปนี้             

                )            758  +  338

                )            35278  +  6748

วิธีทำ

)                            758

                            +338                                        

                                            1308                                         

                )                            35278                    

                                            + 6748

                                                44238                                   

 

                การบวกเลขฐานสิบหก     มีวิธีการบวกคล้ายคลึงกับการบวกเลขฐานสิบเช่นเดียวกัน ซึ่งในขั้นแรกหากยังไม่มีความชำนาญในการบวกเลขฐานแปดและฐานสิบหกก็อาจจำเป็นต้องใช้ตารางการบวกช่วยได้ ดังนี้

ตารางการบวกเลขฐานสิบหก

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

2

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

3

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

4

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

5

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

6

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

7

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

8

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

9

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

A

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

B

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

C

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

D

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

E

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

F

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

1E

 

ตัวอย่างที่ 1.18     จงบวกเลขฐานสิบหกต่อไปนี้          

                                1A816  +  67B16

วิธีทำ                                                                                      คอลัมน์  3  2  1

                                                                                                                1 A 8

                                                                                                       +     6 7 B

                                                                                                                8 2 3

 

 

 

 

                วิธีคิด     

                                คอลัมน์ 1  :

                                                8  +  B    =             810  +  1110

=             1910

                                                =             16 + 3                              

                                                                =             1316                                                     ผลบวกคือ 3, ตัวทดคือ 1

                                คอลัมน์ 2  :

                                                1  + A  +  7            =             1  + 1010  +  710

=             1810

                                                                =             16 + 2                              

                                                                                =             1216                             ผลบวกคือ 2, ตัวทดคือ 1

                                คอลัมน์ 3  :

                                                1  +  1  +  6            =             810

=             816                           ผลบวกคือ 8, ไม่มีตัวทด

 

1.12   การลบเลขฐานต่าง ๆ

                การลบเลขฐานสอง            การลบเลขฐานสองก็จะมีลักษณะคล้ายกับการลบเลขฐานสิบโดยทั่วไป นั่นคือกรณีตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ เราก็สามารถลบกันได้ทันที แต่หากตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบเราก็จำเป็นต้องยืมตัวถัดไปมา 1 ดังเช่นเลขฐานสิบ ซึ่งการลบเลขฐานสองมีตารางการลบดังนี้

                                0  -  0      =             0              ตัวยืม      0

                                0  -  1      =             -1            ตัวยืม      1

                                1  -  0      =             1              ตัวยืม      0

                                1  -  1      =             0              ตัวยืม      0

 

ตัวอย่างที่ 1.19     จงลบเลขฐานสองต่อไปนี้

                                1012  -  0112

วิธีทำ                                      1  0  12                                                    510

                                      -       0  1  12                                                 - 310

                                                0  1  02                                                    210

 

                การลบเลขฐานแปดและฐานสิบหก                การลบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกจะมีหลักการเหมือนกับเลขฐานสองและเลขฐานสิบ แต่ดูเหมือนว่าเราจะไม่มีควสมคุ้นเคยนักในการหักลบเลขหรือยืมค่าระหว่างหลักต่าง ๆ กัน ฉะนั้นหากยังไม่มีความชำนาญในการลบเลข ในระยะแรกเราสามารถ ใช้ตารางบวกเลขฐานแปดหรือตารางบวกเลขฐานสิบหก ช่วยในการหาผลลบได้ โดยดูว่าตัวตั้งหรือตัวลบเลขจำนวนใดมีค่าน้อยกว่า เปรียบเทียบทีละหลักเริ่มจาหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด (LSD) นำเลขจำนวนที่น้อยกว่ามาไล่ตามคอลัมน์ริมซ้ายสุด เมื่อพบเลขตัวนี้แล้ว ก็ให้กวาดไปตามแนวนอนจนพบตัวเลขอีกตัวที่มากกว่า ผลลบของเลขสองจำนวนนี้คือ ตัวเลขบนสุดที่ตรงกับเลขในแถวนี้ เช่น 78 - 48 กระทำโดยใช้ 4 ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยกว่านำมาไล่ที่คอลัมน์ริมซ้ายมือสุด เมื่อพบแล้วจึงกวาดมาตามแนวนอนทางขวามือจนพบเลข 7 มองขึ้นด้านบนสุดจะพบเลข 3 ซึ่งจะเป็นคำตอบที่เป็นผลลบของเลขสองจำนวนนี้

 

1.13   การคูณเลขฐานต่าง ๆ

                การคูณเลขฐานต่าง ๆ จะมีหลักการคูณที่เหมือนกับการคูณเลขฐานสิบ สำหรับการคูณเลขฐานสองนั้น ดูเหมือนว่าจะมีความง่ายเป็นอย่างมากในการคูณ เนื่องจาก 0 คูณอะไรก็จะได้ 0 ส่วน 1 นำไปคูณอะไร ก็จะได้ตัวตั้งนั้น และเนื่องจากว่าในการแปลงค่าระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกนั้นมีความยุ่งยากน้อยมาก ทำให้ในการทำการบวก ลบ คูณ หาร ของเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก เราจึงนิยมเปลี่ยนเป็นเลขฐานสองก่อนแล้วจึงหาคำตอบ เสร็จแล้วจึงเปลี่ยนกลับเป็นเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกตามที่ต้องการ

ตารางการคูณเลขฐานสอง

´

0

1

0

0

0

1

0

1

ตัวอย่างที่ 1.20     จงคูณ 10112  ด้วย  10012   

วิธีทำ                                      10112

           ´10012

                                                10112

            00002

          00002

      10112     

      11000112

 

1.14   การหารเลขฐานต่าง ๆ

                การหารเลขฐานต่าง ๆ เราสามารถนำเอาตารางการคูณเลขฐานนั้น ๆ และนำความรู้จากเลขฐานสิบมาใช้ โดยจะหารเลขฐานสองจะเป็นการสะดวกที่สุด

ตัวอย่างที่ 1.21     จงคูณ 11002  ด้วย  1002   

วิธีทำ                                             112

        100 )1011

                                                   100

                                                     100

                                                      100

                                                      000

 

1.15   คอมพลีเมนต์ (Complement)

                ระบบเลขที่ใช้กันใน Computer จะเป็นเลข Binary ดังนั้นหากต้องการบวกและลบเลขจึงจำเป็นต้องมีทั้งวงจรบวกเลขและลบเลข จึงทำให้เกิดความยุ่งยากมาก อีกทั้งหากผลลัพธ์เกิดค่าที่ติดลบจะเกิดปัญหาว่าจะแสดงเครื่องหมายอย่างไร ดังนั้น ในระบบ Computer จะมีการนำ Complement มาใช้ในการลบเลขแต่จะใช้วิธีการบวกกับ Complement ของตัวลบ ซึ่งจะได้ผลลบ และหากผลลัพธ์เกิดมีค่าติดลบ ก็จะแสดงค่าผลลัพธ์เป็นเลข Complement

                การคอมพลีเมนต์เลขฐานสอง        ในระบบเลข Binary จะมี Complement อยู่ 2 อย่าง คือ

                1’s complement คือการกลับสถานะของสัญญาณ จาก 0 เป็น 1 และจาก 1 เป็น 0 ทุก ๆ บิต เช่น 1’s complement ของ 1100011 คือ 0011100

                2’s complement คือผลบวกของ 1’s complement กับ เช่น 2’s complement ของ 1100011 คือ 0011100 + 1 = 0011101 ซึ่งมีวิธีคิดแบบลัดคือ ให้มองจากบิตต่ำสุด(ขวาสุด) ไปยังบิตสูงสุด(ซ้ายสุด) หา 1 ตัวแรกให้พบ หากยังไม่พบ ให้คงค่าเดิมเอาไว้ จนกระทั้งพบ 1 ตัวแรกก็ยังคง 1 ไว้ หลังจากนั้นให้เปลี่ยนค่าที่เหลือ จาก0 เป็น 1 และ จาก 1 เป็น 0 ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1.22

                                                Binary Number                   1’s complement                   2’s complement

                                                           10101                                  01010                                     01011

                                                           10111                                  01000                                     01001

                                                         111100                                000011                                   000100

                                                     11011011                           00100100                              00100101

                การคอมพลีเมนต์เลขฐานสิบ          ในระบบเลขฐานสิบจะมี Complement อยู่ 2 อย่าง เช่นกันคือ

                9’s complement คือการนำเลขฐานสิบในหลักต่าง ๆ แต่ละหลักมาลบกับ 9 เช่น 9’s complement ของ 115 คือ 999 – 115 = 884

                10’s complement คือ การนำ 9’s complement มาบวกกับ 1 เช่น 10’s complement ของ 115 คือ 999 – 115  + 1 = 885 

                การคอมพลีเมนต์เลขฐานแปด        ในระบบเลขฐานแปดจะมี Complement อยู่ 2 อย่าง เช่นกันคือ

                7’s complement คือการนำเลขฐานแปดในหลักต่าง ๆ แต่ละหลักมาลบกับค่าสูงสุดคือ 7 เช่น 7’s complement ของ 115 คือ 777 – 115 = 662

                8’s complement คือ การนำ 7’s complement มาบวกกับ 1 เช่น 8’s complement ของ 115 คือ 777 – 115  + 1 = 663

                การคอมพลีเมนต์เลขฐานสิบหก    ในระบบเลขฐานสิบหกจะมี Complement อยู่ 2 อย่าง เช่นกันคือ

                15’s complement คือการนำเลขฐานสิบหกในหลักต่าง ๆ แต่ละหลักมาลบกับค่าสูงสุดคือ F เช่น 15’s complement ของ 115 คือ FFF – 115 = EEA

                16’s complement คือ การนำ 15’s complement มาบวกกับ 1 เช่น 16’s complement ของ 115 คือ FFF – 115  + 1 = EEB

                จะเห็นว่าทุก ๆ ฐาน จะมีคอมพลีเมนต์ของแต่ละฐานอยู่ 2 ชนิด คือคอมพลีเมนต์ฐาน (radix complement or r’s complement) เช่น คอมพลีเมนต์ของ 2 (2 r’s complement) ซึ่งเป็นของระบบเลขฐานสอง หรือ คอมพลีเมนต์ของ 10 (10 r’s complement) ซึ่งเป็นของระบบเลขฐานสิบ

                ส่วนคอมพลีเมนต์อีกชนิดหนึ่งคือ คอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่ง (radix-minus-one  complement หรือ diminished radix complement or (r-1)’s complement) เช่น คอมพลีเมนต์ของ 1 (1 r’s complement) ซึ่งเป็นของระบบเลขฐานสอง หรือ คอมพลีเมนต์ของ 9 (9 r’s complement) ซึ่งเป็นของระบบเลขฐานสิบ

 

1.16   การลบเลขโดยใช้คอมพลีเมนต์ฐาน

                จากประโยชน์ของเลขคอมพลีเมนต์ที่ใช้ในการหาผลลบของระบบเลขโดยใช้การบวกและสามารถแสดงค่าที่ติดลบได้นั้น ทำให้ในระบบ computer นิยมนำ complement ใช้ในการลบเลข ซึ่งากใช้คอมพลีเมนต์ฐานในการลบเลขมีวิธีการคิดดังนี้

1)      หาคอมพลีเมนต์ฐานของตัวลบ ถ้าตัวลบมีจำนวนหลักน้อยกว่าตัวตั้ง ก็ต้องทำจำนวนหลักของตัวลบให้มีจำนวนหลักเท่ากับตัวตั้งก่อนแล้วจึงหาค่อยคอมพลีเมนต์ฐาน

2)      นำตัวตั้งมาบวกกับคอมพลีเมนต์ฐานของตัวลบที่หาได้จากข้อ 1)

3)      ตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้จากการบวกในข้อ 2) ว่ามีตัวทดสุดท้าย (End around carry)หรือไม่

-          ถ้ามี End around carry ให้ตัดทิ้ง ที่เหลือจะได้ค่าผลลัพธ์ที่ได้จากการลบ โดยมีค่าเป็นบวก

-          ถ้าไม่มี End around carry ก็ให้หาคอมพลีเมนต์ฐานของผลลัพธ์ที่ได้ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ที่ได้จาการลบตามต้องการ แต่มีค่าเป็นลบ

ตัวอย่างที่ 1.23     จงลบเลขฐานสองต่อไปนี้ โดยใช้  2’s complement

ก)                  1100 – 1011

ข)                  10011 – 11100

วิธีทำ      )            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 2’s complement

                                          1100                                                                                                       1100

                                      -   1011                                            2’s complement                          + 0101

                                          0001                             มี End around carry ให้ตัดทิ้ง                 1  0001

                                ผลลบ คือ 0001

)            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 2’s complement

                                          10011                                                                                                    10011

                                      -   11100                                          2’s complement                          + 00100

                                      -   01001                          ไม่มี End around carry                                 10111

                                ผลลบ คือ –( 2’s complement ของ 10111) =  -01001

 

ตัวอย่างที่ 1.24     จงลบเลขฐานสิบต่อไปนี้ โดยใช้  10’s complement

ก)      196  – 155

ข)      3250 – 72532

วิธีทำ      )            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 10’s complement

                                          196                                                                                                         196

                                      -   155                                              10’s complement                       + 845

                                            41                               มี End around carry ให้ตัดทิ้ง                 1  041

                                ผลลบ คือ 41

 

)            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 10’s complement

                                            3250                                                                                                       3250

                                      -   75232                                          10’s complement                       + 27468

                                      -   69282                          ไม่มี End around carry                                 30718

                                ผลลบ คือ –( 10’s complement ของ 30718) =  -69282

 

1.16   การลบเลขโดยใช้คอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่ง

                การใช้คอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่งในการหาผลลบของระบบเลขโดยใช้การบวกจะมีวิธีการที่เหมือนกับการลบโดยใช้คอมพลีเมนต์ฐานแต่ต่างกันตรงการพิจารณาตัวทดสุดท้าย (End around carry) ซึ่งากใช้คอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่งในการลบเลขมีวิธีการคิดดังนี้

1)      หาคอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่งของตัวลบ ถ้าตัวลบมีจำนวนหลักน้อยกว่าตัวตั้ง ก็ต้องทำจำนวนหลักของตัวลบให้มีจำนวนหลักเท่ากับตัวตั้งก่อนแล้วจึงหาค่อยคอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่ง

2)      นำตัวตั้งมาบวกกับคอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่งของตัวลบที่หาได้จากข้อ 1)

3)      ตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้จากการบวกในข้อ 2) ว่ามีตัวทดสุดท้าย (End around carry)หรือไม่

-          ถ้ามี End around carry ให้นำไปบวกกับหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด (LSD) ซึ่งจะได้ค่าผลลัพธ์ที่ได้จากการลบตามต้องการ โดยมีค่าเป็นบวก

-          ถ้าไม่มี End around carry ก็ให้หาคอมพลีเมนต์ฐานลบหนึ่งของผลลัพธ์ที่ได้ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ที่ได้จาการลบตามต้องการ แต่มีค่าเป็นลบ

ตัวอย่างที่ 1.25     จงลบเลขฐานสองต่อไปนี้ โดยใช้  1’s complement

ก)      11001 – 10011

ข)      1001 – 1100

วิธีทำ      )            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 1’s complement

                                          11001                                                                                                    11001

                                      -   10011                                          1’s complement                          + 01100

                                          00110                          มี End around carry ให้บวกเพิ่ม            1  00101

                                                                                                                                                                +  1

                                                                                                                                                         00110

                                ผลลบ คือ 00110

 

)            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 1’s complement

                                          1001                                                                                                       1001

                                      -   1101                                            1’s complement                          + 0010

                                      -   0100                            ไม่มี End around carry                                 1011

                                ผลลบ คือ –( 1’s complement ของ 1011) =  -0100

 

ตัวอย่างที่ 1.24     จงลบเลขฐานสิบต่อไปนี้ โดยใช้  9’s complement

ค)      54  – 21

ง)      3250 – 72532

วิธีทำ      )            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 9’s complement

                                          54                                                                                           54

                                      -   21                                 9’s complement                        + 78

                                          33                 มี End around carry ให้บวกเพิ่ม            1  32

                                                                                                                                                        +  1

                                                                                                                                                         33

                                ผลลบ คือ 33

)            ลบแบบธรรมดา                                                                   ลบโดยใช้ 9’s complement

                                            3250                                                                                                       3250

                                      -   75232                                          9’s complement                          + 27467

                                      -   69282                          ไม่มี End around carry                                 30717

                                ผลลบ คือ –( 10’s complement ของ 30717) =  -69282